Suites géométriques de matrices lignes

Définition

Soit  $A$  une matrice carrée de dimension  $k$  (c'est-à-dire une matrice à  $k$  lignes et  $k$  colonnes) et  $U_0$  une matrice ligne de dimension  $k$ .

La formule de récurrence  $U_{n+1}=U_{n}A$  permet de définir une suite géométrique de matrices lignes, de raison $A$ .

Propriété

Pour une telle suite, on a, pour tout  $n\in \mathbb{N},U_n=U_0{A}^n$ .

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence.

Initialisation
Par convention,  $A^0=I_k$ , donc on a bien  $U_0=U_0{A}^0$ .

Hérédité
Soit un entier naturel  $n$  tel que  $U_n=U_0{A}^n$ . On montre que   $U_{n+1}=U_0{A}^{n+1}$ .
On calcule  $U_{n+1}$  :  $U_{n+1}=U_{n}A$  d'après la définition de la suite.
Donc, en appliquant l'hypothèse de récurrence,  $U_{n+1}=U_0{A}^{n}A$ .
D'où  $U_{n+1}=U_0{A}^{n+1}$ .

Conclusion
La propriété est initialisée pour  $n=0$  et héréditaire à partir du rang  $0$ , donc on a bien, pour tout entier naturel  $n,U_n=U_0{A}^n$ .